Niže je dan komentar asistenta P. T. Tukare vezano uz vježbe iz predmeta Linearna algebra 2:
>>> Ispravak vježbi
Na vježbama 4.lipnja izrečen je sljedeći teorem: Ako su v i w svojstveni vektori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima, onda su oni okomiti, odnosno vrijedi <v|w>=0. Navedena tvrdnja općenito vrijedi za hermitske operatore. U nekim od narednih zadataka tvrdnja je krivo korištena za operatore koji nisu bili hermitski. U tim zadacima zaključak je trebao biti da se ne mogu dijagonalizirati u ortonormiranoj bazi iako postoji baza u kojoj se mogu dijagonalizirati.<<<
—————————————–
Dodatni komentar (B Širola)
Ukoliko je neki operator A, bilo iz R^n u R^n ili iz C^n u C^n (uglavnom za ‘male’ n-ove, npr. 3 ili 4), zadan matričnim prikazom u kanonskoj bazi (e_1, … ,e_n), koja je ONB (bitno za primijetiti), onda je operator A hermitski (tj, antihermitski, unitaran) ako i samo ako je dana matrica hermitska (tj., antihermitska, unitarna) matrica. Sada, računanjem spektra operatora može se zaključiti može li se on dijagonalizirati ili ne. Drugo je pitanje da li postoji neka ONB (ortonormirana za kanonski skalarni produkt!) u kojoj se operator A može dijagonalizirati. Naime, ako postoji neka ONB (b_1, … , b_n) u kojoj se A dijagonalizira, onda je odgovarajuća matrica hermitska ili nije. (Sjetimo se da hermitski operator ima u spektru samo realne vrijednosti.). Posebno, ukoliko ona jest hermitska, onda i dani operator, i onda i dana matrica kojom je operator definiran, MORAJU biti također ‘hermitski objekti’. Tu se sjetimo i teorema s predavanja u kojem smo dokazali da se svaki hermitski operator može dijagonalizirati u nekoj ONB prostora na kojem je on definiran (vidjeti u Skripti: Poglavlje 12, točka 2.8, str. 252.
(Napominjemo kako se neki operator možda može dijagonalizirati u nekoj ONB, ali da on sam NIJE nužno hermitski operator. Naprimjer, svi tzv. normalni operatori, kamo spadaju i hermitski i antihermitski i unitarni operatori, su dijagonalizabilni u nekoj ONB.)
NAPOMENA. Tijekom vikenda će biti dan raspored studenata po predavaonicama za pisanje drugog kolokvija u utorak 25.06., tako da se studenti upućuju na posjetu ovoj web-stranici u dolazećim danima.